信賴區間的理論根源和現代方法涉及 Neyman 建構、pivotal quantity 和貝氏區間。
Neyman 信賴區間的建構
Neyman（1937）以 pivotal quantity 方法建構 CI：找到 g(θ, X) 的分布不依賴 θ。例如 (x̄−μ)/(s/√n) ~ t(n−1)，反轉得 μ ∈ [x̄ − t·SE, x̄ + t·SE]。coverage probability P(θ ∈ CI) = 1−α 對所有 θ 精確成立（常態情況下）。
Profile Likelihood CI
基於似然函數：{θ : 2[ℓ(θ̂)−ℓ(θ)] ≤ χ²₁,α}。Wilks 定理保證漸近覆蓋率。對偏態似然函數（如方差、OR），profile likelihood CI 比 Wald CI 更準確且自動不對稱。
Bootstrap CI
- Percentile method：取 bootstrap 分布的 α/2 和 1−α/2 分位數。簡單但一階準確（first-order accurate）。
- BCa（Bias-Corrected and Accelerated）：修正偏差和偏態，second-order accurate。Efron（1987）證明 BCa 的覆蓋率誤差為 O(n⁻¹)，比 Wald CI 的 O(n⁻¹/²) 優。
- Studentized bootstrap：bootstrap t-statistic 的分位數，也是 second-order accurate。
貝氏可信區間（Credible Interval）
直接給出 P(θ ∈ CI | data) = 0.95——這才是「真值有 95% 機率在區間內」的聲明，但需先驗分布。HPD（Highest Posterior Density）區間是最短的 95% 區間。在 non-informative prior 下，Bayesian credible interval 通常與 frequentist CI 數值接近。
同時信賴區間（Simultaneous CI）
多個參數的同時 CI 控制 family-wise coverage：P(所有θₖ ∈ CIₖ) ≥ 1−α。Bonferroni CI、Scheffé CI 和 Working-Hotelling band 是常用方法。
預測區間 vs 信賴區間
CI 估計母群參數（如 μ），Prediction Interval（PI）預測下一個觀測值。PI = x̄ ± t·s√(1+1/n)，比 CI 寬（多了個體變異 s²）。臨床上「正常參考範圍」是預測區間，不是信賴區間。
文獻參考：Neyman, J. (1937). Phil Trans A, 236, 333-380. / Efron, B. (1987). JASA, 82, 171-185.