抽樣理論的數學基礎涵蓋設計基礎推論、模型輔助估計和複雜調查設計的方差估計。
設計基礎推論 (Design-based Inference)
Horvitz-Thompson estimator：Ŷ_HT = Σᵢ∈s yᵢ/πᵢ，πᵢ = inclusion probability。Var(Ŷ_HT) = ΣΣ (πᵢⱼ − πᵢπⱼ) yᵢyⱼ/(πᵢπⱼ)。Sen-Yates-Grundy 方差估計量在 fixed-size designs 下非負（Särndal, Swensson & Wretman, 1992, Model Assisted Survey Sampling）。
模型輔助估計
GREG estimator（Generalized Regression Estimator）：Ŷ_GREG = Ŷ_HT + (X̄ − X̂_HT)ᵀβ̂_w。利用輔助資訊（如行政登記）提升效率。在超群體模型 yᵢ = xᵢᵀβ + εᵢ 下，GREG asymptotically design-unbiased（Sarndal, 1980）。Calibration estimator（Deville & Särndal, 1992）調整權重使輔助變數的加權總和等於已知總值。
複雜調查的方差估計
Taylor linearization（delta method）：一階近似 Var(f(Ŷ)) ≈ [∂f/∂Ŷ]² Var(Ŷ)。Jackknife replication：刪一個 PSU 重複估計 n 次。BRR（Balanced Repeated Replication）以 Hadamard matrix 建構半樣本。Bootstrap 在 two-stage designs 下需特殊調整（Rao & Wu, 1988, JASA）。
雙重抽樣與自適應設計
Two-phase sampling（Neyman, 1938）：第一階段以廉價方式分層，第二階段在各層中精確測量。自適應群集抽樣（Thompson, 1990, JASA）：遇到稀有事件時擴展取樣。
小區域估計（Small Area Estimation）
直接估計量在小域中方差過大。Fay-Herriot model（1979）：θ̂ᵢ = θᵢ + eᵢ，θᵢ = xᵢᵀβ + uᵢ。EBLUP（Empirical Best Linear Unbiased Predictor）以 shrinkage 借鑑其他區域的資訊（Rao & Molina, 2015, Small Area Estimation, 2nd ed.）。
缺失資料與無回應
單位無回應以 propensity weighting 校正；項目無回應以多重插補處理（Rubin, 1987, Multiple Imputation for Nonresponse in Surveys）。MCAR/MAR/MNAR 假設決定方法的有效性。Sensitivity analysis 評估 MNAR 的影響。
文獻參考：Särndal, C.-E. et al. (1992). Model Assisted Survey Sampling. Springer. / Rao, J.N.K. & Molina, I. (2015). Small Area Estimation, 2nd ed. Wiley. / Rubin, D.B. (1987). Multiple Imputation for Nonresponse in Surveys. Wiley.