族群動態的數學框架始於 Malthus 的指數模型與 Verhulst（1838）的邏輯斯模型，現代已整合隨機過程、空間結構、年齡結構與遺傳變異。
結構化族群模型（Leslie 矩陣）
將族群按年齡（或生活史階段）切成向量 n(t)，下一時期由矩陣運算 n(t+1) = L·n(t) 給出，其中 L 的第一列是年齡特異性生育率 F_x，次對角線是存活機率 P_x。長期增長率由主特徵值 λ₁ 決定，對應的右特徵向量是穩定年齡分布（stable age distribution），左特徵向量是年齡特異性的繁殖價值 V_x（Caswell, 2001, Matrix Population Models）。敏感度 ∂λ/∂a_ij 與彈性度（elasticity） (a_ij/λ)·∂λ/∂a_ij 可診斷哪個生活史參數最能影響族群增長——長壽物種對成體存活率敏感，短命物種對繁殖率敏感，此結果指導保育資源該投向哪個年齡段（例：海龜保育應優先保護亞成體）。
隨機族群動態
確定性模型忽略兩類隨機性：
- 人口隨機性（demographic stochasticity）：個體層級出生/死亡的二項變異。方差 ∝ 1/N，故僅在小族群有影響。
- 環境隨機性（environmental stochasticity）：年際波動影響所有個體的 vital rates。期望增長率減去方差/2（Jensen inequality 的推論）給出隨機增長率 r_s，這可能讓確定性下正成長的族群實際上走向滅絕。
族群存活力分析（PVA, Population Viability Analysis, Shaffer 1981）整合這兩類隨機性與密度依賴，以 Monte Carlo 模擬估算滅絕機率，是 IUCN 紅皮書與最小可存活族群（MVP）估計的核心工具。
Allee 效應與滅絕閾值
低密度下的正密度依賴（Allee, 1931）——配偶難尋、反掠食群體失效、近交衰退——造成族群存在滅絕閾值。北美旅鴿（passenger pigeon）從數十億隻在短短數十年內滅絕，被認為與 Allee 效應相關：群體繁殖機制需要巨大族群才能運作。
混沌與非線性動態
離散時間邏輯斯映射 N_{t+1} = rN_t(1 − N_t/K) 在 r 增大時依序出現穩定點→2 週期→4 週期→混沌（May, 1976, Nature 261:459）。這指出族群波動不一定需要外力擾動——純粹的非線性內在動力即可。Hassell 等人用此框架解釋昆蟲族群的年際波動。
空間族群（metapopulation）與源-匯動態
Pulliam（1988）的 source-sink 理論指出：某些棲地（source）出生率大於死亡率、淨出生體；其他棲地（sink）反之但靠移入維持存在。整體保育若只看局部族群而忽略空間連結會嚴重誤判。
文獻
Caswell H. 2001. Matrix Population Models. Sinauer.
May RM. 1976. Nature 261:459-467. Simple mathematical models with very complicated dynamics.