離散度量的理論基礎涉及不偏性、充分統計量和高維擴展。
充分統計量與 Fisher-Neyman 定理
對常態分布 N(μ, σ²)，(x̄, s²) 為 (μ, σ²) 的充分統計量（sufficient statistics）——所有關於母群參數的資訊都包含在這組統計量中。Rao-Blackwell 定理保證以充分統計量為條件的估計量，其方差不大於原始估計量。
方差的分割（Variance Decomposition）
全方差定律（Law of Total Variance）：Var(Y) = E[Var(Y|X)] + Var[E(Y|X)]。分為組內方差和組間方差，是 ANOVA 和混合效應模型的理論基礎。在分層抽樣和集群分析中，ICC（Intraclass Correlation Coefficient）= σ²_between / (σ²_between + σ²_within) 量化組間差異佔總變異的比例。
Bootstrap 方差估計
Efron（1979）提出的 bootstrap 方法：從樣本有放回抽樣 B 次（通常 B ≥ 1000），計算每次的統計量，以其 empirical distribution 估計標準誤和信賴區間。不需分布假設，適用於複雜統計量（如 median、ratio、correlation）。BCa（Bias-Corrected and Accelerated）bootstrap 修正偏差和偏態，比 percentile method 更準確。
多變量離散度
在 p 維空間，離散度以共變異矩陣 Σ（p×p 正定矩陣）描述。行列式 |Σ|（generalized variance）量化整體離散程度。Mahalanobis 距離 D² = (x−μ)ᵀΣ⁻¹(x−μ) 考慮了變數間的相關性，是多變量 outlier 偵測的基礎。高維情境（p > n）中，樣本共變異矩陣奇異，需 shrinkage 估計（Ledoit & Wolf, 2004）或稀疏估計（graphical LASSO）。
測量不確定度（Measurement Uncertainty）
GUM（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, ISO/IEC 98-3）框架將不確定度分為 Type A（統計方法估計）和 Type B（非統計方法，如儀器規格書）。合成標準不確定度用誤差傳播公式：u_c² = Σ(∂f/∂xᵢ)²·u(xᵢ)² + 2ΣΣ(∂f/∂xᵢ)(∂f/∂xⱼ)·u(xᵢ,xⱼ)。
文獻參考：Efron, B. (1979). Ann Stat, 7, 1-26. / Ledoit, O. & Wolf, M. (2004). J Multivariate Anal, 88, 365-411.