族群成長模型是族群生態學的數學基石，從 Malthus（1798）的指數模型到 Verhulst（1838）的邏輯模型，已演化出考慮密度依賴、隨機性、時間延遲與空間結構的多種變體。
指數成長的理論基礎
dN/dt = rN 假設：(1) 出生與死亡為瞬時、連續事件 (2) 個體間無相互作用 (3) 環境恆定 (4) 無年齡結構。
Leslie matrix 與 Lotka-Euler 方程則考慮年齡結構：
Σ l(x)m(x)e^(-rx) = 1
其中 l(x) 為存活率、m(x) 為生育率。此式可解出穩定族群成長率 r。
邏輯模型的密度依賴機制
dN/dt = rN(1 - N/K) 隱含 r 隨 N 線性下降。實際密度依賴可呈非線性，由此衍生 θ-logistic 模型：
dN/dt = rN(1 - (N/K)^θ)
θ > 1：密度效應集中在 K 附近（如大型哺乳類）；θ < 1：密度效應早期就顯著（如某些昆蟲）。
Allee 效應（Allee Effect）
低密度時人均生長率反而下降，使曲線出現低密度滅絕閾值：
dN/dt = rN(1 - N/K)(N/A - 1)
A 為 Allee 閾值。低於 A 族群會崩潰。經典案例：旅鴿（passenger pigeon）滅絕——群居繁殖物種人為獵捕降低密度後，無法維持繁殖所需的群體規模，最終 1914 年絕種。
隨機與環境噪音
確定性模型忽略族群波動。Ricker（1954）與 Beverton-Holt（1957）的離散時間模型，加入隨機項後可呈現複雜動態，包括穩定點、週期、混沌（May, 1976; Logistic map x_(t+1) = rx_t(1 - x_t)，r > 3.57 進入混沌）。
時間延遲與週期性
Hutchinson（1948）的時滯邏輯方程：
dN/dt = rN(1 - N(t-τ)/K)
τ 為時間延遲。當 rτ > π/2 族群進入週期振盪。北美山貓-雪兔 10 年週期可部分由此解釋。
空間結構
Fisher-KPP 方程引入空間擴散：
∂N/∂t = rN(1 - N/K) + D∇²N
波速 v = 2√(rD)。此模型解釋入侵物種推進速度（Hengeveld, 1989）。Reaction-diffusion 框架已成空間生態學主流。
現代應用