箱形圖的統計理論根基在於 order statistics 和 robust scale estimation，現代延伸涵蓋高維和函數型數據。
理論基礎：Order Statistics
Q1 和 Q3 是 order statistics X₍⌈n/4⌉₎ 和 X₍⌈3n/4⌉₎。任何 order statistic X₍ₖ₎ 的漸近分布：√n(X₍ₖ₎ − ξₚ) → N(0, p(1−p)/f(ξₚ)²)，p = k/n（Serfling, 1980）。IQR 的漸近方差結合了兩個 order statistics 的 joint asymptotic 理論。
離群值偵測的統計基礎
Tukey's 1.5·IQR rule（Tukey, 1977, Exploratory Data Analysis）：在常態分布下，Q1 − 1.5·IQR 和 Q3 + 1.5·IQR 約涵蓋 99.3% 的資料。「極端離群值」以 3·IQR 為界（涵蓋 99.998%）。此規則的 breakdown point 為 25%。
Adjusted boxplot for skewed data
Hubert & Vandervieren（2008, Comput Stat Data Anal）：以 medcouple（MC）修正 fence：[Q1 − 1.5·exp(a·MC)·IQR, Q3 + 1.5·exp(b·MC)·IQR]。MC 是一個 robust skewness measure，breakdown point = 25%。解決偏態資料中標準 boxplot 過度標記離群值的問題。
Bagplot（二維箱形圖）
Rousseeuw, Ruts & Tukey（1999, Am Stat）：以 halfspace depth 推廣箱形圖到二維。中心 = Tukey median；bag = 包含 50% 深度最大點的凸包；fence 以放大係數 3 決定離群值。
Functional boxplot
Sun & Genton（2011, J Comput Graph Stat）：以 band depth 或 modified band depth 排序函數資料。中位數曲線 = 最深的函數；envelope = 中心 50% 的函數範圍。在 longitudinal biomarker 資料（如生長曲線、EEG signal）中揭示群體趨勢和異常個體。
Letter-value plot
Hofmann, Wickham & Kafadar（2017, J Comput Graph Stat）：以 letter values（除了四分位還有八分位、十六分位…）取代鬍鬚，在大數據中提供更多分布細節。解決 n > 10000 時離群值過多的問題。
文獻參考：Tukey, J.W. (1977). Exploratory Data Analysis. Addison-Wesley. / Hubert, M. & Vandervieren, E. (2008). Comput Stat Data Anal, 52, 5186-5201. / Hofmann, H. et al. (2017). J Comput Graph Stat, 26, 469-477.